배리 데인튼, [시간과 공간] 요약 정리 16: 제논과 연속체(1)

 

제16장 : 제논과 연속체(1)

(Zeno and the continum Ⅰ)

 

16.1. 운동과 연속체

   운동은 일상에서 빈번하게 일어나고 있는 보편적인 현상이다. 그리고 지금까지 살펴본 시공간 이론들에서도 운동은 크게 문제가 되지 않았다. 시간에 따라서 대상이 서로 다른 공간점을 차지하는 것이 운동이다. 두 물체 사이의 거리관계가 시간에 따라서 어떻게 변하는지를 보아도 두 물체의 상대운동 여부를 확인할 수 있다. 이 장에서의 논의는 단순한 시공간과 복잡한 시공간 모두에 적용되며, 실체론과 관계론 두 입장 모두에 적용된다.

    

   운동의 문제는 이른바 ‘제논의 역설들’로부터 비롯되었다. 제논은 기원전 490년경에 그리스 문화권에서 태어난 것으로 추정되며, 철학자 파르메니데스와 긴밀한 관계였다. 파르메니데스는, 겉보기와 달리 실재는 오직 하나의 변하지 않는 개체로 구성된다고 생각했다. 제논은 파르메니데스의 입장을 지지하기 위해, 그 반대의 입장(운동의 다수성과 변화하는 사물)을 유지하면 모순이 일어남을 보이고자 했다.

  

   제논의 역설들 중 잘 알려져 있는 것이 아킬레스와 거북의 경주다. 실제로 거북이 아킬레스보다 조금 앞선 곳에서 출발한다고 해도, 아킬레스는 거북을 금방 따라잡는다. 그러나 제논은 아킬레스는 결코 거북을 따라잡을 수 없을 것이라고 주장했다. 아킬레스가 거북이 있던 P1에 도착하면 거북은 P2에 가 있고, 아킬레스가 P2에 도착하면 거북은 P3에 가 있다. 이런 과정이 무한하게 계속되기 때문에, 아킬레스는 거북을 따라잡지 못하는 것이다.

  

   제논의 역설은 20세기의 현대 수리논리의 발전에 의해서 해결될 수 있었다. 특히, 19세기 말에 수학자 게오르크 칸토어가 연속체에 대한 코시, 데데킨트 연구의 연장선상에서 무한대에 관련한 연구를 한 이후, 수학자들은 제논의 역설에 대한 확정적인 답변을 제시할 수 있었다.

 

16.2. 연속체에 숫자 매기기

   운동의 가능성을 논박하기 위해서 제논은 시간과 공간이 연속적이라는 고리를 문제로 삼았다. 시공간의 연속성은 오늘날의 물리이론에서도 표준적으로 받아들이고 있는 입장이다. 시공간이 연속적이라는 것은 무엇을 의미하는가? 이는 직관적으로는 끊임이 없음을 의미하며, 좀 덜 직관적으로는 무한히 분할 가능함을 의미한다. 실제로 기하학에서의 선은 조밀성(denseness)을 갖는다. 이는 선 위의 그 어떤 두 점 사이에서도 또다른 점을 찾을 수 있음을 의미한다.

  

   직선 위에 정수 단위로 수를 매긴다고 생각해보자. 0을 포함한 정수들만으로는 직선을 채울 수 없다. 그렇기에 우리는 p/q라는 형식의 유리수(rational number)로 수 영역을 넓힌다. 유리수는 앞서 언급한 성질인 조밀성을 갖는다. 하지만 유리수만으로는 수직선을 채울 수가 없다. 피타고라스에 의해 밝혀진 것처럼, √2와 같은 이등변직각삼각형의 빗변의 길이는 유리수가 아니면서도 수직선을 채우고 있기 때문이다. 유리수와 무리수가 합쳐져야만 이른바 실수직선을 얻는다.

  

   실수직선은 조밀하면서도 끊임이 없기 때문에 완전하게 연속적이라고 할 수 있다. 이러한 실수직선은 기하학적 선의 구조를 이해하고 더 나아가 시공간의 물리적 연속체 구조를 이해하는 데 지침을 제공해준다. 실수직선의 1차원성은 간단한 방식으로 2, 3차원 등 높은 차원으로 확장될 수 있기 때문이다. 1차원 실수직선이 실수 하나로 표현되는 것처럼, 2차원 연속체는 실수 2개, 3차원 연속체는 실수 3개, 4차원 연속체는 실수 4개 등으로 표현된다.

  

   만약 물리적 공간 역시 실수 3개로 표현된다고 가정하면 공간 역시 실수와 같은 미세구조인 조밀성과 연속성을 가질 것이다. 이를 ‘표준적인 관점’이라고 하자. 뉴턴과 라이프니츠 시대의 미적분학 발견 이래 물리학과 우주론의 주요 공식들은 실수함수들이었다. 다시 말해, ‘표준적인 관점’은 지금까지 우리의 가장 성공적인 물리학 이론들에서 핵심적인 역할을 해왔다. 그런데 제논에 의하면 시간과 공간을 무한히 분할할 수 있다고 가정하면 피할 수 없는 난감한 역설들에 직면하게 된다. 이제 그러한 역설들이 무엇인지에 대해서 좀 더 자세하게 살펴보기로 하자.

 

16.3. “이분법(dichotomy)” 역설

   달리기 선수가 Z에서 출발해서 Z*를 향해 달려간다고 해보자. 선수는 Z-Z*의 1/2인 Z1에 도달해야 한다. 그리고 난 뒤 그는 Z1-Z*의 1/2인 Z2에 도달해야 한다. 그리고 이러한 과정은 무한히 반복되기 때문에, 선수는 결코 Z*에 도달할 수 없다. 이와 같은 제논의 역설을 “이분법” 역설이라고 한다. 이분법 역설은 아킬레스의 역설보다 더 근본적이다. 아킬레스 역설에서 시작점과 각 경주자들의 속도를 알면 아킬레스가 거북을 따라잡는 지점 P를 계산할 수 있지만, 이분법 역설은 아킬레스가 P에 도착할 수조차 없음을 주장하고 있기 때문이다.

  

   이분법 역설을 다음과 같이 공식화해보자. (공식화 1)

  

   1. Z에서 Z*로 움직이면서 선수는 유한한 간격들의 무한한 계열을 통과해야 한다.

   2. 유한한 간격들의 무한한 계열을 통과하기 위해서는 무한한 양의 시간이 필요하다.

   3. 따라서 선수가 Z에서 Z*로 가는 데는 무한한 시간이 필요하므로, 선수는 Z*에 도달하지 못한다.

  

   시간을 제외하고 이분법 역설을 다음과 같이 공식화할 수도 있다. (공식화 2)

  

   1. Z에서 Z*로 움직이기 위해서는 유한한 거리 간격의 무한한 계열을 통과해야 한다.

   2. 유한한 길이가 무한히 더해지면 무한한 길이가 된다.

   3. 따라서 Z와 Z* 사이의 공간거리는 무한하다.

  

   아리스토텔레스는 위 공식화 중 공식화 1에 대해서 다음과 같은 반박을 제시했다. 그는 제논이 공간뿐만 아니라 시간 역시도 무한히 나눌 수 있다는 사실을 간과했다고 보았다. 유한한 시간은 무한히 나누어질 수 있으므로, 실제로 선수는 무한한 시간 동안 무한한 간격 계열을 통과했다는 것이다.

  

   이제 다음과 같은 세 가지 주장들을 구분해보자.

  

   (A) 일정한 크기의 유한 길이의 무한 합은 항상 무한하다.

   (B) 점점 커지는 유한 길이의 무한 합은 항상 무한하다.

   (C) 점점 줄어드는 유한 길이의 무한 합은 유한할 수 있다.

  

   여기서 문제가 되는 것은 주장 C이다. 그런데 주장 C 역시 A, B와 마찬가지로 직관적으로 보았을 때 그럴듯해 보인다. 그러나 과연 이와 같은 직관이 수학적 증명으로 뒷받침될까? 이 물음에 대한 답은 ‘그렇다’이다. 19세기의 수학자들은 유한한 항들의 무한 계열이 유한할 수 있음을 보였다. 현대적 용어로 표현한다면, Z 점들은 일종의 부분 합이라고 볼 수 있고, 부분 합 계열은 커지긴 하지만 그 커지는 정도가 급격히 줄어드는 경우가 있다. 이분법 역설의 경우, 그 어떤 항도 1을 넘어서지 못함을 증명할 수 있다(수렴). 수렴하는 계열이 특정한 수 L에 가까이 갈 경우, L을 해당 계열의 극한(limit)이라고 한다. 이분법 역설에서의 극한은 1이고, 이분법 역설에서 등장하는 거리들의 합이 이분법 계열의 극한이라고 볼 수 있으므로, 우리는 유한 길이의 무한 합이 유한하다고 주장할 수 있다.

  

   여기서 주의해야 할 점은 우리가 유한 수의 산술이 아니라 무한 수의 산술을 사용했고, 이 두 산술은 서로 같지가 않다는 것이다. 무한 합 산술은 체계적이고 일관된 수학 이론이며, 무한 합으로부터 유한한 총계를 계산할 수 있도록 해 준다. 그러나 이로써 모든 문제가 해결된 것은 아니다. Z로부터 시작해서 목적지 Z*에 어떻게 도착할 수 있는지의 문제가 남아있다. 왜냐하면 Z와 Z* 사이에는 무한한 계열의 수들이 있기 때문이다.

 

16.4. 다수성(복수성)의 역설

   제논이 제시한 역설들 중 주요하고 심오한 것으로 평가받는 것은 이른바 “다수성” 역설이다. 연장된 사물은 부분들로 분할될 수 있는데, 분할 과정은 무한히 이루어진다. 물리적으로 분할 불가능하더라도 상관없다. 그 경우에도 위/아래처럼 구분할 수 있기 때문이다. 이렇게 무한히 분할된 부분이 일정한 크기를 가지면 원래 대상은 무한히 커질 것이고, 분할된 부분의 크기가 0이면 원래 대상의 크기도 0이 된다. 어떤 경우에도 연장된 원래 사물이 성립되지 않고 붕괴하기 때문에 역설이 발생하는 것이다.

  

   이를 다음과 같이 공간의 문제에 적용해보자.

  

   1. 연속체의 구간은 균질한 점 부분들로 구성된다. 이 구간을 S라 하자.

   2. 점 부분은 0의 크기를 갖거나 0이 아닌 크기를 갖는다.

   3. 0이 아닌 크기를 가질 경우, S는 무한할 것이다.

   4. 0인 크기를 가질 경우, S는 0일 것이다.

  

   이 역설은 이분법 역설과 달리 쉽게 논박되지 않는다. 이 경우 이분법 역설에서와는 대조적으로 점 부분의 크기가 일정하며 줄어들지 않기 때문이다. 우리는 여기서 무한소가 무한히 많을 경우 어떻게 무한소가 아닌 유한값을 얻을 수 있게 되는지를 설명해야 한다. 이제 이 역설에 대해서 현대수학이 제시한 답변을 살펴보기로 하자.

 

16.5. 칸토어의 연속체

   아리스토텔레스는 실질적 무한에 반대하고 잠재적 무한을 옹호했다. 연속체는 잘게 분할할 수 있지만 분할된 조각들은 실제로 분할을 했을 때 비로소 조각으로 존재하는 것이지, 이미 무한히 분할된 부분들이 모여 연속체를 구성하는 것은 아니라는 것이다. 다시 말해, 전체는 이미 존재하는 점 부분들로 구성되는 것이 아니다.

  

   이에 대한 사례를 살펴보자. 갈릴레오는 그의 책 [새로운 두 과학]에서 자연수가 자연수의 제곱과 일대일 대응함을 보였다. 두 집합의 원소들이 일대일 대응하면 두 집합의 원소의 개수가 같다고 보는 것이 일반적이지만, 자연수의 집합은 자연수 제곱의 집합보다 그 구성 성분들이 더 많은 것처럼 보인다. 이러한 역설적인 상황을 어떻게 이해해야 할까? 갈릴레오는 유한수에 적용되는 산술은 무한수에 적용되는 산술과 다를 것이라고 제안했다. 그의 이러한 제안은 19세기의 수학자 칸토어에 의해서 구체화되었다.

  

   칸토어는 두 집합 S1과 S2 사이에 일대일 대응이 존재하면 두 집합의 기수가 같다고 보았다. 그리고 무한집합의 특징은 그 집합과 그 집합의 진부분집합 사이에 일대일 대응이 성립하는 것이라고 보았다. 반면 유한집합은 집합과 진부분집합 사이에 일대일 대응이 성립하지 않는다. 칸토어는 두 집합의 기수가 같은지를 판단하기 위해서 일대일 대응 방법을 사용했는데 이는 놀랄만한 결과를 가져왔다. 칸토어는 무한집합의 기수가 서로 다를 수 있음을 보여주었다.

  

   자연수의 집합과 일대일 대응이 성립할 때 해당 무한 계열을 가산적(denumerable)이라고 하자. 유리수의 집합은 가산적이다. 칸토어는 자연수와 유리수 사이에 일대일 대응이 성립함을 증명하였고, 가산집합의 기수를 ‘알레프(א) 영’이라고 불렀다. 그렇다면 무한소수로 표현되는 실수의 집합은 어떠한가? 칸토어는 유명한 대각화 논법을 사용해서 자연수와 실수 사이에는 일대일 대응이 성립하지 못함을 증명했다. 따라서 실수 R은 비가산적이었으며, 실수의 기수를 c(연속체)라 불렀다. 그리고 그는 무한집합의 기수 역시 무한하게 커질 수 있음을 보였다. (알레프-1, 알레프-2,...)

  

   칸토어는 일대일 대응 방법을 사용해서 실수직선의 그 어떤 부분 구간도 실수 전체와 일대일 대응시킬 수 있음을 보였다. 즉, 실수전체와 실수 부분구간은 동일한 무한 기수를 갖는다. 이렇듯 유한집합의 속성과 무한집합의 속성은 상이하다. 무한집합의 속성이 반직관적인 것으로 보인다면, 그것은 우리의 직관이 유한집합의 속성들에 적합하게 진화해왔기 때문인지도 모른다. 칸토어는 더 나아가 1차원 연속체의 기수 c가 2, 3차원 등 고차원 연속체의 기수와도 같음을 보였다.

 

16.6. 다수성, 측도(measure), 계량(metric)

   다수성 역설의 전제는 전체의 길이가 가장 작은 구성 성분들의 합을 통해 생성된다는 것이다. 그런데 이 전제는 유한한 크기의 부분을 가진 일상적인 사물들에는 잘 적용된다. 또한 기수가 알레프-0인 가산집합에 대해서도 적용된다. 하지만 실수 연속체에 오면 상황은 달라진다. 길이와 상관없이 실수 구간은 동일한 기수 c를 갖기 때문에, 구간의 길이는 구간이 포함하고 있는 점들의 수에 관한 함수가 아니다. 즉, 우리의 일상적인 덧셈(가산) 법칙이 비가산적 집합에는 적용되지 않는다. 따라서 다수성 역설이 포함하고 있는 핵심 전제를 받아들여서는 안 된다.

  

   연속체를 다룰 경우에는 덧셈(가산)을 특정한 방식으로 제한해서 역설 또는 비일관성을 피할 수 있다. 구간 I를 유한한 길이를 갖는 유한한 수의 부분구간들의 산술적 합으로 보는 것이다. 이렇게 하면 앞서의 역설적 상황을 피할 수 있다. 뿐만 아니라, 앙리 레벡 등이 1900년대에 제시한 측도 이론을 통해서 비가산집합의 크기를 일반적인 방법으로 측정할 수 있다. 측도 이론에서 점의 추가는 특정 간격의 측도에 영향을 주지 않는다. 간격 I가 겹치지 않는 부분간격들로 나뉠 경우, 간격 I의 측도는 부분간격 측도들의 합이다.

  

   따라서 크기가 0인 점으로 구성된, 가산적으로 무한한 집합의 측도는 0이다. 따라서 유한한 간격은 가산적이 아니라 비가산적으로 무한한 점들을 포함하고 있어야 한다. 측도 이론의 관점에서 보면, 비가산적으로 무한한 점들은 측도가 0이 아닌 구간인 연장을 구성할 수 있다.

  

   만약 길이가 점 집합의 내재적 특성이 아니라면, 간격의 길이는 무엇이 결정하는가? 이에 대해 현대 기하학과 시공간 이론은 다음과 같이 답한다. 점들의 집합은 계량(거리함수)으로 서로 연결되어야만 계량적 속성을 갖는다. 예를 들어 유클리드 평면에서 각 점들에는 실수쌍이 부여되고 점들 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 따른다. 굽은 공간에서는 점들 사이의 거리가 계량 텐서에 의해서 정의된다. 그렇다면 과연 계량 또는 거리함수는 시공간의 실재적이고 내재적인 측면들을 그대로 반영하는 것인가 아니면 계량에는 규약적인 요소도 포함되어 있는 것일까? 이 물음에 대해서도 학자들은 서로 다른 답변들을 제시하고 있는 상황이다.

 

16.7. 이분법 역설 다시보기

   앞서 살펴본 것처럼 무한계열이 수렴하면 무한 합 역시 유한한 값을 가질 수 있으므로, 제논이 유한한 시간에 Z에서 출발해 Z*에 도착하는 것은 가능하다. 그러나 연속체의 조밀성으로 인해서 제논이 Z*에 정확하게 도달하기 전에 무한한 수의 다른 점들을 만나게 된다는 문제가 있다. 이 문제는 연속체를 점들로 구성된 실질적인 무한으로 간주함으로써 발생하는 것이다.

  

   그러나 이와는 다른 해석도 가능하다. 연속체에서 분할을 통해 새로운 점들이 등장할 때마다 순서에 따라서 해당 점들을 통과한다고 생각한다. 그리고 만약 Z와 Z* 사이에 있는 모든 점들을 통과한다면, 그것이 곧 Z에서 Z*로 가는 임무를 완수한 것으로 보는 것이다. 즉, Z*에 도착한다는 것을 그 사이에 있는 모든 점들을 통과하는 것으로 해석한다. 물론 이러한 해석은 여전히 반직관적이지만, 이러한 반직관성은 연속체 그 자체의 특정한 측면 때문에 발생하는 것으로 환원할 수 있다.

  

   실수 a와 b 사이의 개구간을 (a,b), 폐구간을 [a,b], 반개구간을 (a,b] 또는 [a,b)로 표기한다. 이제 제논의 역설을 재공식화해보자. 제논은 그의 역설이 반개구간 [Z,Z*)에서 일어난다고 제시하기 때문에 Z*에는 도착하지 못하게 된다. 그러나 폐구간 [Z,Z*]에서 상황이 일어난다고 보면 제논은 문제없이 Z*에 도달할 수 있다. 폐구간, 개구간, 반개구간은 모두 도일한 측도를 갖는다. 따라서 마지막 점인 Z*에 어떻게 도착하는지의 문제만이 남게 되는 셈이다.