토레티, [기하학의 철학] 요약 정리 03

 

2.2.3. 표면에 관한 가우스 곡률

  

   해당 표면을 표상하는 데 있어 허용 가능한 특정한 해석적 조건들을 부여함으로써 표면의 경우에도 ‘매끄러운 표면’의 개념을 정의할 수 있다.

와

가

와

에서의 i번째 투영 함수를 지칭한다고 하고,

를

에서 연결되고 열린(혹은 닫힌) 영역이라고 하자. 또,

은 행렬

로 표현되는 미분 가능한 함수라고 하자. 만약 x가 데카르트 사상(mapping)일 경우,

는

를 공간으로 옮긴다. 만약

가 단사(injective) 사상이고 임의의 데카르트 사상 x에 대해서

가 모든 곳에서 모든 차원의 편미분 계수를 갖는 경우,

를 매끄러운 표면이라 부른다.

  

가 매끄러운 표면이고

가 이 표면 위의 한 점이라고 할 때, 점 P를 지나는 S 위의 모든 곡선들의 접선(탄젠트)들을 포함하는 평면

가 존재한다. 이

는 P를 영벡터로 갖는 2차원 벡터 공간이라고 생각할 수 있을 것이다. 이를 S에 대한 점 P에서의 접평면(tangent plane)이라고 할 수 있을 것이다. 만약

를 P를 지나는

의 법평면(수직인 평면)이라 한다면, 평면

와 표면 S의 교선인 평면 곡선을 S에 대한 점 P에서의 법곡선(normal section)이다. 이 법곡선들은 P에서 특정 곡률들을 갖는데, 이 곡률들의 집합은 실수들로 구성되어 있으며 위 아래로 경계지워져 있다. 오일러는 이 집합의 상한이

이고 하한이

임을 증명했으며, 이를 점 P에서의 상호 수직인 두 법곡선의 곡률이라고 한다. 그리고 이 두 곡선의 접선을 표면 S에서의 점 P에 대한 ‘주 방향(principla direction)’이라고 한다. ∑가 S에서의 P의 법곡선이고

와 관련된 주 방향과 접선이 각

를 이루는 경우, ∑의 곡률은 다음과 같이 주어진다.

(01)

  

   원점을 O로 하는 데카르트 사상 x를 생각하자. 또한 O를 중심으로 하고, 단위 반지름

가

와 수직인 구를 생각하자. 이 때 점

중의 하나를

를 유일하게 표현하는 점이라고 (규약적으로) 정할 수 있다. 이 때 우리는 이

를 표면 S에서의 점 P에 대한 법상(normal image)라고 하고, 이를 n(a, b)라 표현한다. (u, v)→n(u, v)는

를 중심이 O인 단위 구의 부분 집합으로 옮긴다. 이 때 우리는 n(

)를 표면 S의 법상이라고 한다. 가우스(Gauss)는 표면 S=

의 총 곡률을 법상 n(

)의 영역(area)라고 정의했다. 또한 그는 표면 S=

의 점

(a, b)에서의 ‘곡률 측도’를 다음과 같이 정의한다.

(02)

  

   가우스에 의하면, S의 P에서의 접평면

는 Q=n(a, b)에서의 단위 구에 대한 접평면과 평행하다. 데카르트 사상 x가 주어질 경우, 공간 틀(frame) (

)에 수직으로 사영해서 얻는 n(

)와

에 대한 상들 사이의 비율이 n(

)과

의 영역 사이의 비율과 같다. 위와 같은 ‘곡률 측도’를 G-측도(G는 가우스를 의미한다)라고 한다.

  

   이렇게 G-곡률을 정의할 경우 우리는 다음과 같은 정리들을 얻는다. “표면 S 위의 점 P의 G-곡률은 P 위의 두 개의 법곡선의 곡률의 곱과 같다.” “표면 위에 서로 다른 세 점이 있을 경우, 이 점들을 이어 삼각형을 만들 수 있고(이 때 점들 사이의 호는 최단거리로 한다), 이 삼각형의 내각의 합은 표면의 곡률이 양인 경우 항상

보다 크고, 표면의 곡률이 음인 경우 항상

보다 작다. 그리고 이러한 초과 혹은 결핍의 양은 해당 삼각형의 법상의 넓이에 비례한다.”

 

2.2.4. 가우스의 위대한 정리(Theorema Egregium)와 표면의 내적(intrinsic) 기하학

  

   G-곡률은 그 자체로 표면의 내적인 성질은 아닌 것 같다. 왜냐하면 이는 표면의 서로 다른 점들이 갖는 접평면의 공간적인 변화를 통해 정의되어 있기 때문이다. 그렇다면 어째서 내적으로, 기하학적으로는 서로 동등하지만 외적으로, 공간과의 관계를 따질 경우에는 동등하지 않은 두 표면의 G-곡률이 같은 것일까? 이는 단순히 우연일까? 굽어진 표면에 대한 가우스의 연구 중에서 가장 주목할 만한 것은, 내적으로 동등한 표면 모두에 대해서 G-곡률이 같다는 것을 발견한 데 있다. 만약 두 표면

,

가 등척적(isometric)이고,

가 표면

위에서 정의된 G-곡률 함수이며,

가

에서

로의 거리 보존적 합동변환(isometry)이라면,

이다. 이를 다음과 같이 말할 수도 있다. ‘G-곡률은 거리보존적 합동변환 아래에서 불변이다’. 가우스는 표면을 포함하고 있는 3차원 공간과의 관계와는 무관하게 표면을 ‘내적으로’ 연구할 수 있는 개념적 도구를 개발했다.

  

   표면

가 있고,

는 열린 영역

에서 공간으로 가는 단사 사상이라고 하자. 표면

위의 점 P와 Q를 잇는 호 ĉ([a, b])를 생각하자. 이 때 ĉ(a)=P이고 ĉ(b)=Q이다. ĉ([a, b])의 전체가 표면

에 있으므로, 모든 차수의 미분 계수를 갖는 단사 사상 c : [a, b] →

이 존재하고, ĉ는

∙c이다. 임의의 데카르트 사상 x가 주어졌을 경우, c([a, b])의 길이는 다음과 같이 주어진다.

(01)

  

이라 하면

는

를

로 옮긴다. 각각의 (u, v)∊

에 대해

=

라 하고, 각각의 t∊[a, b]에 대해 c(t)=

라 하자. 이제 식 (01)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

(02)

,

,

(03)

(04)

  

   이 때,

라 하고

라 하면 표면

위에서의 호의 길이를 표현하는 다음과 같은 잘 알려진 공식을 얻는다.

(05)

(06)

  

   만약 우리가 E, F, G를

위에서 정의된 세 개의 임의적인 함수라고 한다면 우리는 행렬

를 표면

의 특성(characteristic)이라 생각할 수 있으며, 이는 표면의 내적 기하학을 온전하게 결정한다. 우리는 한 표면의 내적 기하학이 이와 같은 행렬들의 무한 집합으로 정의된다고 생각할 수 있다. 이 때 각 행렬들은 정의된 법칙들에 따라 하나의 행렬에서 다른 행렬로 변환된다.

 

2.2.5. 리만에서의 공간과 기하학의 문제

2.2.6. 다양체의 개념

2.2.7. 접공간(The Tangent Space)

2.2.8. 리만 다양체, 리만 계량(Metrics), 리만 곡률(Curvature)

2.2.9. 물리적 공간에 대한 리만의 사유(speculations)

2.2.10. 리만과 헤어바르트(Herbart), 그라스만(Grassmann)