배리 데인튼, [시간과 공간] 요약 정리 12: 시공간에서의 운동

 

제12장 : 시공간에서의 운동

(Motion in spacetime)

 

12.1. 뉴턴적 시공간

    여전히 뉴턴의 입장에 남은 문제가 있다. 뉴턴은 절대 가속도가 경험적으로 탐지될 수 있음을 근거로 절대 공간 개념을 옹호했지만, 여전히 절대 속도는 탐지될 수 없기 때문에 라이프니츠의 운동학적 이동으로 생성될 수 있는 무한히 많은 우주들 중에 우리가 어떤 우주에서 살고 있는지를 결정할 수 없다.

  

   1920~30년대에 카르탕 등의 작업에 의해 뉴턴 이론을 정식화하는 더 나은 방법이 생겼다. 이 방법에서는 절대 속도를 없애고 절대 가속도를 유지한다. 우선 뉴턴 이론을 시공간의 용어로 정식화한다. 다음에는 뉴턴적 시공간을 신-뉴턴적 시공간으로 대체한다.

  

   시공간에 접근하는 두 가지 방법이 있는데, 바로 하향직 방법과 상향식 방법이다. 하향식 방법에서는 복잡한 시공간에서 출발하여 시공간 구조의 다양한 요소들을 추출한다. 상향식 방법은 시공간의 기초적 요소들에서 출발해서 다양한 유형의 구조를 덧붙인다. 이 논의에서는 하향식 방법을 사용할 것이다.

  

   뉴턴은 점들로 구성된 무한하고 불변하는 3차원 유클리드 연속체가 시간이 지나면서도 계속 지속된다고 보았다. 이를, 점들이 계속 이어지기는 하지만 순간들이 이어짐에 따라 서로 구분되는 것으로 보면 4차원 시공간 연속체를 얻을 수 있다. 3차원 부피를 2차원 평면들의 모음으로 이해할 수 있는 것처럼, 4차원 부피 역시 시간의 흐름에 따라 이어지는 3차원 부피들의 모음으로 이해할 수 있다.

  

   뉴턴적 시공간에서는 모든 점들이 다른 점들과 일정한 시간적, 공간적 거리를 갖고 있다. 뉴턴적 시공간에서 지속하는 물질적 대상은 세계선으로 표현된다. 세계선이 수직이면 물체는 절대 정지 상태이고, 세계선이 비스듬한 직선이면 등속 운동을 한다. 세계선이 곡선이면 가속 운동을 한다. 뉴턴적 시공간에서는 관성 궤적과 비관성 궤적을 구분할 수 있다. 직선이 관성 궤적, 곡선이 비관성 궤적이다. 직선들의 모음은 시공간의 관성 구조를 나타낸다.

 

12.2. 신-뉴턴적 시공간

    뉴턴적 시공간에서는 서로 다른 동시성 평면의 점들 사이에 거리 관계가 있다. 이 거리 관계를 없애면 신-뉴턴적 시공간을 얻는다. 신-뉴턴적 시공간에서는 초평면에서의 한 점이 다른 초평면에서의 해당 점과 얼마나 떨어졌는지를 묻는 것이 의미가 없어진다. 동일 위치라는 개념도 적용되지 않는다. 한 초평면 내의 점들이 모두 동시적이라는 것은 그대로다. 직선과 곡선 세계선 사이의 구분도 유지된다.

  

   우선 각각의 초평면 점들에 좌표를 부여한다. 다음으로, 연속하는 초평면들에서 점들이 이루는 계열이 연속적인 계열을 구성하도록 규정한다(stipulate). 이제 세계선이 직선인지 곡선인지 구분 가능해진다. 두 번째 단계를 시공간의 아핀 구조를 구체화하는 절차라고 부른다. 직선 경로를 구체화하는 것은 접속의 부여라고 한다. 직선들의 모음은 해당 시공간 전체의 관성 구조 또는 아핀 구조를 나타낸다. 직선 세계선은 가속도가 없는 물체를, 곡선 세계서는 가속도가 있는 물체를 나타낸다. 뉴턴적 시공간에서는 두 관성계 중 하나를 정지 상태로 고정하면 다른 계는 고정된 계에 상대적으로 고정되거나 등속 운동한다. 그러나 신-뉴턴적 시공간에서는 두 계 중 하나를 정지 상태로 고정해도 다른 계 역시 운동 상태를 자유롭게 설정할 수 있다.

  

   공간의 구조를 그대로 남겨두는 변환을 대칭성이라고 한다. 이동, 축 반사, 회전 등은 유클리드 평면기하학에서의 대칭성이다. 신-뉴턴적 시공간에서 관성 변환은 대칭성이다. 서로 다른 시공간은 서로 다른 대칭성을 갖는다. 신-뉴턴적 시공간에서는 시간 진행에 따른 거리 개념이 정의되지 않으므로 절대 속도가 없다. 하지만 절대 가속도는 정의 가능하다. 가속되는 것으로 생각되는 물체를 선정한다. 물체의 궤적 중 일부를 시작점으로 선정한다. 이때 물체가 정지해 있다고 보는 관성계를 선택한다. 시간이 지난 후, 물체가 정지해 있다고 보는 또 다른 관성계를 선택한다. 두 관성계의 상대 속도를 구하고, 이를 시간으로 나누면 평균 절대 가속도가 구해지고, 이에 극한값을 취하면 절대 가속도를 얻을 수 있다.

 

12.3. 신-뉴턴적 시공간이 유일하게 합리적인 관점인가?

    처음 적응하는데 시간이 좀 걸려도, 신-뉴턴적 시공간은 시간과 공간이 작동하는 것을 대하는 매우 자연적인 태도라고 볼 수 있다. 특정 점들 사이에서는 거리 관계가 성립하지 않도록 시공간을 정의하는 것이 합리적일 수 있다. 예를 들어, 내가 지금 있는 장소가 내가 10분 전에 있던 장소와 얼마나 떨어져 있는지를 묻는 것이 의미가 있을까? 과거의 실재성을 부정하는 사람은 그러한 물음이 의미가 없다고 생각할 것이다. 그리고 신-뉴턴적 시공간은 그러한 현재주의적 입장과도 양립가능하다.

  

   특수상대성이론의 민코프스키 시공간에서도 절대 속도는 없어지도 절대 가속도는 유지되지만, 그 이유는 사뭇 다르다. 민코프스키 시공간에서는 절대적 시간 간격을 부정함으로써 그러한 효과를 얻는다.

 

12.4. 위협의 제거

    신-뉴턴적 시공간을 채택하면 절대 속도의 탐지 불가능성 문제가 해결된다. 신-뉴턴적 시공간에서는 절대 속도가 정의되지 않고 오직 상대 속도만이 결정될 수 있을 뿐이기 때문이다. 이로써 라이프니츠의 운동학적 이동 논증을 극복할 수 있다. 물론 라이프니츠의 정적 이동 논증은 여전히 유효하지만, 충분 이유 원리를 받아들이는 사람이 오늘날 거의 없으므로 이 논증을 강력한 것이라고 보기는 어렵다.

 

12.5. 설명적 무능의 책임

    가속도와 관성 효과 사이에는 체계적인 연결이 있다. 상대론자는 관성 효과를 겪는 상대 가속도와 그렇지 않은 상대 가속도를 구별하지 못한다. 따라서 가속도와 관성 효과를 체계적으로 기술할 수 없다. 상대론자는 설명되지 않는 기초적 속성으로 관성 효과를 도입할 수 있지만, 이는 임시방편적인 성격을 띤다. 반면 실체론자는 절대 공간에 대한 운동에 호소함으로써 관성 효과를 설명할 수 있다. 절대 공간에 대한 절대 속도가 변할 때 관성 효과가 발생한다고 볼 수 있기 때문이다.

  

   그런데 신-뉴턴적 시공간을 받아들이면 실체론자 역시 관계론자와 유사한 입장에 이르게 된다. 신-뉴턴적 시공간에서는 절대 가속도가 절대 공간에 대한 속도의 변화로 정의되지 않는다. 절대 가속도는 세계선의 곡률로 정의된다. 따라서 세계선의 곡률 개념이 문제가 된다.

  

   세계선 곡률 개념의 정의 절차를 살펴보자. 첫째, 서로 매우 가까이 모여 있는 점들을 구체화(specify)한다. 둘째, 무엇을 시공점의 연속적 계열로 볼 것인지를 구체화한다. 즉, 시공간에서의 경로 또는 궤적을 구체화하는 것이다. 셋째, 공간에서의 접속을 구체화한다. 즉, 어떤 궤도가 직선이고 곡선인지를 규정한다. 이제 시공간에서 직선 경로와 관성 경로가 구분된다.

  

   그런데 여기서 실체론자 역시 관계론자처럼 관성 효과가 없는 경로가 직선 경로이고 관성 효과가 있는 경로가 곡선 경로라고 밖에는 답변하지 못하는 상황이 발생한다. 신-뉴턴적 실체론자 역시 관성 효과의 기원에 대해서는 사소한(trivial) 수준의 설명만을 제공할 수 있을 뿐이다.

 

12.6. 반론

   뉴턴적 시공간에서 신-뉴턴적 시공간으로의 이동은 절대 가속도의 정체성을 근본적으로 변경시킨 것으로 여겨진다. 그렇다면 신-뉴턴적 시공간에서 실체적 시공간은 어떤 역할을 하는 것일까?

  

   관계론자와 달리 실체론자는 시공간 자체가 고유의 구조를 갖고 있으며, 절대 가속도는 관성 효과와 독립적으로 시공간의 굽은 경로를 통해 특성화될 수 있다고 주장한다. 실체론자는 관성 효과를 겪는 대상에게는 별도의 물리적 속성이 있을 것이고, 이 속성을 굽은 경로와 연결하는 자연법칙이 있다고 본다.

  

   실체론자의 관점에서 관성 효과란 물체를 구성하는 부분들 사이에서 발견되는 내적 긴장이다. 물체가 관성 효과를 겪을 경우, 물체의 특정 부분이 다른 부분에 외력을 가하게 된다. 즉, 물체에 특별한 속성을 전제하지 않아도 관성 효과는 설명 가능해진다. 절대 속도의 차이가 발생할 때마다 물체 내부적인 긴장이 형성된다고 설명할 수 있기 때문이다.

  

   관성 경로 개념에 대한 신-뉴턴주의자의 설명을 정리해보자. 시공간에서의 특정 경로들은 자연법칙에 의해서 특권을 부여받는다. 이때 자연법칙은 물질 대상과 시공간 사이의 관계를 관장한다. 여기서 자연법칙이란, 이러한 특권적 경로들을 따라 움직이는 물체들은 다른 움직이는 물체 또는 국소적으로 형성된 강제력 또는 원거리 강제력에 의해 힘을 받지 않는 이상, 계속 기존의 운동을 유지하고자 한다는 것이다. 특권적 경로들을 우리는 관성 경로라 부른다.

 

12.7. 뉴턴적 시공간 관계주의

    1993년에 모들린(Maudlin)은 다음과 같이 주장했다. 뉴턴 이론을 ‘시간+공간’이 아니라 시공간의 관점에서 보았을 때 관계론자의 입장을 취할 수 있는데, 뉴턴적 시공간에서 관계론자의 입장은 매우 강력하지만, 신-뉴턴적 시공간에서는 관계론자의 입장이 매우 불리해진다는 것이다. 이제 모들린의 주장을 간략하게 살펴보기로 하자.

  

   앞서 살펴본 것처럼, 뉴턴의 양동이 실험에서 라이프니츠적 관계론자는 불리한 입장에 있었다. 뉴턴은 절대 공간을 도입함으로써 동시적 사건들과 비동시적 사건들 사이의 거리를 정의할 수 있는 기준계를 확보했다. 그런데 이러한 기준계 확보는 절대적 공간의 추정에 대해 직접적으로 의존하는 것이 아니라, 거리 관계의 영역을 동시적 사건에서 비동시적 사건으로 확장하는 데 의존했다는 것이 핵심이다. 이는 뉴턴적 관계주의 역시 가능함을 시사한다.

  

   뉴턴적 관계주의에 따르면, 모든 시공간적 사실들은 물질적 사물들 사이의 관계에 대한 것이다. 그런데 이 때의 관계는 비동시적 사건들 사이의 관계를 포함한다. 한 물체가 있을 때, 시간이 지남에 따라 이 물체가 이전까지의 거리 관계를 계속 유지하면 절대적으로 정지해 있고, 원래 위치로부터 시간 당 일정한 거리로 분리되면 절대 등속 운동을 한다. 만약 시간 당 분리되는 거리가 달라지면 절대 가속 운동을 한다. 이와 같은 관점에서 양동이 실험도 설명이 가능하다. 물이 움푹 패는 이유는 시간에 따라 그 이전의 상태에 대해 상대적인 가속 운동을 하기 때문이다.

  

   관계론자는 물질적 사물들이 점유하고 있는 시공간 위치 및 사물들 사이의 거리 관계만이 실재한다고 인정한다. 이러한 입장은 뉴턴적 관계론자가 라이프니츠의 정적 이동 논증에 대응할 수 있도록 해준다. 뉴턴적 상대주의는 4차원적 관점 및 사건존재론을 전제한다. 이는 뉴턴의 양동이 실험 논증이 관계론 그 자체를 논박하지는 못함을 보여준다. 관계론적 관점 역시 관성 효과를 설명할 수 있기 때문이다.

 

12.8. 신-뉴턴적 시공간 관계론

    그러나 위와 동일한 전략이 신-뉴턴적 시공간 관계론에는 통하지 않는다. 신-뉴턴적 시공간은 초평면들 사이의 거리 관계를 정의하지 않으므로, 절대 공간이 제공했던 완전한 4차원 계량을 갖지 못하기 때문이다. 예를 들어보자. 하나의 평면에서 질량 중심을 회전하고 있는 두 입자를 가정하자. 신-뉴턴적 관점에서는 시간에 따라서 생성되는 평면들 사이에 질서와 방향을 부여해야 한다. 평면들 사이에 시간 질서를 부여하는 것은 크게 문제가 되지 않으나, 문제는 방향(orientation)을 부여하는 것이다.

  

   신-뉴턴적 관점에서는 비동시적 위치 사이에 거리 관계가 성립하지 않으므로, 어떤 방향이 옳은 방향인지를 구체화할 수 없게 된다. 뿐만 아니라, 서로 다른 방향을 갖는 것이 물리적으로 다른 상태라는 것을 인식할 수도 없다. 신-뉴턴적 관점에서 관계론자가 사용할 수 있는 상대적 방향은 공선성(collinearity) 밖에 없다. 즉, 점이 동일한 관성 경로에 돌아오는지의 여부를 판단할 수 있으며, 점이 동일한 경로로 돌아오면 회전이 끝났다는 것을 알 수 있다. 그러나 해당 시간 간격 또한 입자가 순간마다 어떤 속도로 회전했는지를 알 수는 없다.

  

   3체 문제의 경우, 특정한 초기 정보가 주어지면 뉴턴 이론을 사용하여 물체들의 행동을 예측할 수 있다. 그러나 방향에 대한 정보가 주어지지 않으면 계가 미래에 어떻게 행동할 지는 결정되지 않는다. 초기의 절대 가속도를 어떤 값으로 갖느냐에 따라 계의 미래 행동은 달라진다. 그런데 공간 거리 관계가 주어지지 않으면 사물의 절대 가속도 역시 충분하게 정의되지 않으므로, 신-뉴턴적 입장은 난점에 직면한다.

 

   이에 대해 상대주의자는 도구주의자의 전략을 취할 수 있다. 상대론자는 마치 실체론자와 같이 공간을 점유하지 않고 있는 점들과 궤적들도 존재하는 것처럼 가정하고 난 뒤, 시공간의 전체 지도가 완성되고 나면 가정했던 점들과 궤적들을 삭제하는 도구주의자의 입장을 취하는 것이다. 물체들이 그리는 세계선들이 지도 상에서 완성되고 나면 물체들 사이의 거리나 내재적 곡률이 잘 정의된다. 곡률의 변화 또한 충돌이나 원거리력으로 설명 가능해진다.

 

   하지만 이런 도구주의자의 전략을 취하더라도 실체론자는 뉴턴 역학의 용어로 계의 행동을 정확하게 설명할 수 있는 반면, 관계론자는 그렇지 못한다는 난점이 남는다.

 

12.9. 관계론의 부활

    하지만 시공간 관계의 모음이 더 풍부해지면 신-뉴턴적 관계론에 대한 반대를 극복할 수 있다. 동시적 사물들 사이의 거리 관계가 특정한 방향과 크기를 갖도록 정의한다. 이때 거리 관계에 상대적 방향 또는 절대적 방향을 부여할 수 있다. 이렇듯 거리 관계에 방향을 부여하면 등속 회전 또는 비등속 회전을 구분할 수 있게 된다.

  

   그러나 거리 관계에 방향을 도입해도, 질량이 서로 다른 물체의 중력 끌림 현상을 관계론자는 정확하게 설명하지 못한다. 질량이 서로 다른 물체 A와 B가 있을 경우, 질량이 더 큰 B쪽으로 A가 끌려가는 게 맞지만 관계론자는 그 역도 옳다고 보아야 하기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해서는, 서로 다른 정도를 갖는 ‘순간 내재 곡률’이라는 추가적인 속성을 도입해야 한다. 그렇게 되면 A가 끌려가는 것과 B가 끌려가는 것 사이를 구분할 수 있게 된다.

  

   내재적 방향 및 순간 내재 곡률이라는 추가적인 속성을 도입하면 관계론자는 뉴턴적 세계의 모든 역학적으로 유관한 측면들을 수용할 수 있다. 이는, 색다른 종류의 거리적 속성을 받아들일 경우 관계론자 역시 뉴턴 이론에 필수적인 모든 역학적 구분을 도입할 수 있다는 교훈을 준다. 다시 말해, 순수하게 뉴턴 역학적인 고려만으로는 실체론과 관계론 사이의 우열을 결정적으로 판가름하기 어렵다. 아마도 전자기학과 상대성이론을 감안하면 두 입장 사이의 우열을 구분할 수 있을지도 모른다. 아니면 또 다른 순수한 형이상학적 논증을 사용할 수도 있을 것이다.

  

   신-뉴턴적 시공간에서는 비동시적 점들 사이의 공간적 거리 관계가 존재하지 않는다. 민코프스키 시공간에서는 절대적 동시성이 존재하지 않는다. 양자이론에서는 절대적 동시성이 존재하며, 상대성이론에서는 절대적 동시성이 존재하지 않는다. 만약 양자이론과 상대성이론이 통합되어야 한다면, 통합된 이론에서는 양자이론에서의 절대적 동시성이 부활할 가능성이 높다는 것이 물리학자들의 다수 견해이다. 이는 절대적 동시성을 인정하고 있는 신-뉴턴적 시공간이 우리의 실제 시공간을 좀 더 잘 반영할 수 있음을 의미할 수 있다.